Estadística: Intervalo de Confianza

Intervalo de confianza (CI)

Definición y uso

   El intervalo de confianza, es el valor de un intervalo que se encuentra en un límite de valor designado que cumpla la siguiente estructura equivalente entre sí:

Límite para el CI ± E ± zα/2 · σ ⁄ √n ± zα/2 · σ ·

CI para muestras pequeñas En el caso de muestras pequeñas, se cuenta con la siguiente expresión matemática: ± tα⁄2 · s/√n

Diferencias con el estimador puntual

Las principales diferencias, se observan con las características para calcular los siguientes parámetros:

• Primero, la media de la población se puede estimar puntualmente mediante la media de la muestra:  = μ
• En segundo lugar, la proporción de la población se puede estimar puntualmente mediante la proporción de la muestra: ρˆ = ρ
• También, la desviación típica de la población se puede estimar puntualmente mediante la desviación típica de la muestra, aunque hay mejores estimadores: s = σ
• Finalmente, el nivel de confianza, C, es la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el parámetro estimado, Sí  α = 1 – c, y (a,b) es el intervalo de confianza se cumplirá.

Clasificación y ejemplos

Intervalo de Confianza para las MEDIAS

   Para el cálculo de la media, debemos de tener en cuenta la fórmula mostrada a continuación. Con esta expresión se busca calcular el tamaño de las muestras para que el intervalo de confianza sea lo más cercano posible a “E”.

EJEMPLO. “Un científico desea estudiar el peso promedio de las águilas doradas. Un estudio anterior de 2 águilas mostró que la desviación estándar de sus pesos es de 14.6 libras. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el científico tenga el 95 % de confianza de que el error de estimación es a lo más 5 libras?”. 

SOLUCION:

(Guevara, 2017)

Intervalo de Confianza para proporciones, VARIANZA

   Se cuenta con límites del intervalo del  de confianza para aproximar la proporción poblacional  están dados por una de las tres expresiones equivalentes:

EJEMPLO. “Un candidato político está planeando su campaña y quiere determinar su popularidad. En una muestra aleatoria de 5000 de los 30000 votantes registrados en el país, 1900 manifestaron conocer al candidato. Construya un intervalo del 95% de confianza para la proporción de  votantes en país que conocen al candidato”.

SOLUCIÓN: z _0.025 = 1.96   Como  30000 < (20)(5000)     ∴      ρ = ¹⁹⁰⁰⁰ / ₅₀₀ = 0.38

(Guevara, 2017)

Nivel de confianza

Definición y uso

   Se conoce que el usuario es capaz y puede especificar los niveles de confianza y α – valores; Es así como, si se utiliza la q(0.05, k, v), el nivel de confianza simultáneo  está controlado en un 95%, el nivel de confianza del 95% para el intervalo recién definido se heredó de la capacidad probabilística .95.

Lo mismo es cierto para q(0.01, k, v), es decir, el nivel de  confianza está controlado en un 99%.

En este sentido, uno de los usos más comunes es un intervalo de confianza para la media m de una población normal cuando se conoce el valor de  viene dado por:

Contraste con el intervalo de confianza

   Un intervalo de confianza es un rango de valores que probablemente contenga un parámetro de población desconocido. Es decir, si extrae una muestra aleatoria muchas veces, un cierto porcentaje de los intervalos de confianza contendrá la media de la población. Por lo tanto, este porcentaje es el nivel de confianza.

   El nivel de confianza representa la capacidad teórica del análisis para producir intervalos precisos si puede evaluar muchos intervalos y, además,  conoce el valor del parámetro de población. Entonces, para un intervalo de confianza específico de un estudio, el intervalo contiene el valor de la población o no; no hay espacio para probabilidades distintas de 0 o 1. Y no puede elegir entre estas dos posibilidades porque no conoce el valor del parámetro de población.

Interpretación de intervalo de confianza

   Lo definiría como una estimación o rango, en un determinado tiempo, el cual incluye un valor de población con un cierto grado de confianza. Utilizado principalmente para muestras de población, dado que en estudios grandes es muy difícil el poder analizarla por completo.

   De esta manera se realiza un promedio o media de una población, que se encuentra entre un intervalo superior e inferior, el cual suele expresarse de manera porcentual. Es así como genera el Nivel C.

   Un ejemplo podría ser cuando se realiza una encuesta a dos sectores de población (tomamos 2 muestras), ambas con un promedio igual en lo que estemos analizando (ejemplo la edad), pero sin embargo uno de los grupos tiene una variación mas grande entre sus edades, lo concibo como tener un diagrama de cajas y bigotes con bigotes largos (alta variación), y una sin bigotes o más pequeños (una media sin tanta variación).

   En este sentido, aunque ambos grupos tengan la misma estimación del promedio de edades, el grupo con la mayor variación obtendrá un intervalo de confianza mas amplio en la estimación que se realice para una próxima encuesta.

(L., 2012)

Clasificación de intervalos de confianza (IC)

    I. Cuando se muestrea una distribución normal con varianza conocida

   Es cuando se tiene una muestra aleatoria de una distribución normal con media desconocida , pero con la varianza conocida .  En este sentido se entiende que hay un interés para construir un intervalo de confianza de un 100(1-α)%, por lo que podemos observar incluso en la imagen seleccionada que entre mas grande es el tamaño de la muestra, más pequeño es el ancho del intervalo.

    II. Se muestrea una distribución normal con varianza desconocida

   Se entiende como el problema de encontrar un intervalo de confianza para μ, cuando se muestra una distribución normal y para la cual no se tiene conocimiento acerca del valor de la varianza.

 III. Diferencia de medias cuando se muestrean dos distribuciones normales independientes

   Se da cuando hay dos muestras aleatorias de dos distribuciones normales independientes, en este sentido entiendo que con las medias respectivas (μ_x y μ_y  con  σ_x²  y σ_y²), respectivamente. En este caso se desea construir el intervalo para la diferencia de estas.

  IV. Cuando se muestrea una distribución normal con media desconocida

   Es cuando se examina el problema de construcción de un intervalo para la varianza de una población σ², en este caso cuando N(μ,σ). Se recomienda determinar los valores cuartiles.

  V. Cociente de dos varianzas cuando se muestrean dos distribuciones normales independientes

   En este caso, se busca el construir un intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas. Para esto la referencia que tome en cuenta lo describe de la siguiente manera, se tienen medias y varianzas desconocidas, entonces, sean n_x  y  n_y, el tamaño de las muestras y S_x  y  S_y las varianzas, se construye el intervalo para el cociente ^σ_y / _σx

   I. Parámetro de proporción  cuando se muestrea una distribución binomial

   Para este cao, se puede ejemplificar como si en una muestra aleatoria tenemos un tamaño «n» y el parámetro «ρ» que se representa la proporción de algún dato desconocido. En este caso se busca encontrar el  intervalo de confianza para ρ.

(Snedecor, 1989) (Canavos, 1988 )

Tamaño de la muestra en IC

   En conclusión, se puede observar que en cuanto mayor sea la muestra, será más seguro poder visualizar realmente al total de la población. Es por ello, que cuando se nos da un nivel de confianza predeterminado, mientras mas grande sea la muestra, menor será el intervalo de confianza.

   Una observación en este sentido es que pareciera que se trata de un tipo de igualdad o inversos, no obstante, la relación entre la muestra y el intervalo de confianza; de acuerdo con lo visto anteriormente, se da de manera exponencial. Es decir, no se puede esperar el reducir a la mitad el intervalo de confianza, duplicando el tamaño de la muestra, o viceversa.

Límite de confianza

Definición

            Se definen de la siguiente manera aritmética:

Dónde:

•  Y‾   : La media de la muestra.
• s       : Es la desviación estándar de la muestra.
• N     : El tamaño de la muestra.
• α es el nivel de significancia deseado y t_1-α⁄2
• N -1 : Es el percentil 100 (1- α / 2) de la t distribución con N – 1 grados de libertad.
• 1 – α : El coeficiente de confianza.

“Son una estimación de intervalo para la media. Las estimaciones de intervalo suelen ser deseables porque la estimación de la media varía de una muestra a otra. En lugar de una sola estimación para la media, un intervalo de confianza genera un límite inferior y superior para la media. Además, la estimación del intervalo da una indicación de cuánta incertidumbre hay en nuestra estimación de la media verdadera. Sobre todo, cuanto más estrecho sea el intervalo, más precisa es nuestra estimación.” 

(Snedecor, 1989)

Clasificación                                                   

   En general, hay tres posibles hipótesis alternativas y regiones de rechazo para la prueba t de una muestra.

Primero, límite de confianza superior muestral grande para μ es: Después, límite de confianza interior muestral grande para μ es:

En este sentido, obtenemos un límite de confianza unilateral para  reemplazando en lugar de  en lugar de “+” o “–“ en la fórmula para el intervalo de confianza para .

Nota: Siempre el nivel de confianza es aproximadamente 100(1-α)%

BIBLIOGRAFÍA

Referencias Informativas

• (Canavos, 1988 )
•  (Guevara, 2017)
•  (L., 2012)
• (Montgomery Douglas C., 2007)
•  (R. E. Walpole, 2012)
•  (Sapientia Aedificavit, 2012)
• (Snedecor, 1989)

Referencias Ilustrativas (Créditos y Licencias correspondientes)

• Gráficos Intervalo de Confianza, Gráfica Nivel de Confianza; Fórmulas: Límite de Confianza, Nivel de Confianza, Intervalo de Confianza, Varianza, Intervalo de Confianza, Intervalo de Confianza, Medias; Ejemplos: IC para las Medias, Varianza,

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