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Posición (Se refiere a la ubicación de un objeto).
La posición de un punto sobre un mecanismo. Es la ubicación espacial de ese punto, que se define con un vector de posición, R, el cual se extiende de un origen de referencia a la ubicación del punto.
Posición angular de un eslabón. La posición angular, theta, se define como el ángulo que forma una línea entre dos puntos del eslabón con un eje de referencia. La posición de un mecanismo no es más que la posición resultante de sus diferentes eslabones.
Desplazamiento lineal y angular
Desplazamiento angular o ángulo. Su unidad en el S.I. es el radian o radianes (rad) y es la relación entre el arco y el radio que se a trazado su expresión matemática es la siguiente:
∆φ = ∆S/r
Desplazamiento lineal. Los movimientos de trayectoria curvilínea son muchos más abundantes que los movimientos rectilíneos. El movimiento circular uniforme está presente en multitud de situaciones de la vida cotidiana: las manecillas de un reloj, las aspas de un aerogenerador, las ruedas, el plato de un microondas, las fases de la Luna… En el movimiento circular uniforme (MCU) el móvil describe una trayectoria circular con rapidez constante. Es decir, recorre arcos iguales en tiempos iguales.
Trayectoria
Equivale a los sucesivos lugares geométricos que un cuerpo ocupa mientras se mueve. La trayectoria de un cuerpo es, por lo general, una línea que goza de continuidad. Hay excepciones, como el caso de un electrón orbital que ocupa distintas posiciones en un átomo.
Sistemas de coordenadas en la que se pude ubicar la posición de un cuerpo
Un espacio euclídeo de dimensión finita es un espacio vectorial normado sobre los números reales de dimensión finita, en que la norma es la asociada al producto escalar ordinario. Es un espacio vectorial donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría.
Cartesiano. Se define por dos ejes ortogonales en un sistema bidimensional y tres ejes ortogonales en un sistema tridimensional, que se cortan en el origen 0.
Polares. En este sistema se necesitan un ángulo (θ) Y una distancia (r). Sabemos que la relación entre coordenadas polares y cartesianas viene dada por las igualdades x=r= cos θ e y =r= sen θ. Recíprocamente, se verifica que r= (𝑥2+ 𝑦2).
Cilíndricas. La primera coordenada es la distancia (r) existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo (ϕ) que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, y la tercera es la coordenada (z) que determina la altura del cilindro.
Esféricas. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada (r) es la distancia entre el origen y el punto, las otras dos los ángulos necesarios girar para alcanzar la posición.
Cantidad escalar y ejemplos
Un escalar es una cantidad que está cabalmente definida cuando se conoce únicamente su magnitud. Por ejemplo:
Volumen. El volumen es una magnitud métrica de tipo escalar definida como la extensión en tres dimensiones de una región del espacio.(metros cúbicos –
Temperatura. La temperatura es una magnitud escalar que se define como la cantidad de energía cinética de las partículas de una masa gaseosa, líquida o sólida.(Grados – °K, °C, °F …)
Potencial eléctrico. El potencial eléctrico en un punto del espacio es una magnitud escalar que nos permite obtener una medida del campo eléctrico en dicho punto a través de la energía potencial electrostática que adquiriría una carga si la situamos en ese punto. (Voltio – V)
Masa. Mide la cantidad de materia de un cuerpo, y además caracteriza las propiedades inerciales del mismo. (gramos – gr).
Distancia. La distancia o longitud es la medida que existe entre dos puntos.(metros – m)
Cantidad vectorial y ejemplos
Un vector no se define por completo tan solo con la magnitud. También hay que indicar la dirección de la cantidad. Algunos ejemplos son:
Peso. es una cantidad vectorial, es la fuerza ejercida sobre el cuerpo por la atracción de la Tierra. La magnitud del peso de un cuerpo (w) de masa m es igual a: W=m*a (Newton – N).
Velocidad. Es una cantidad física que indica la distancia de desplazamiento de una partícula en un determinado tiempo y dirección. (metros sobre segundos – m/s)
Fuerza. todo aquello capaz de modificar la posición, forma o cantidad de movimiento de un objeto o una partícula. La fuerza es un vector porque, además de una magnitud (una intensidad), para describir una fuerza hacen falta una dirección y un sentido. (Newton – N)
Torción. También llamada “torque”, expresa la medida de cambio de dirección de un vector hacia una curvatura, por lo que permite calcular las velocidades y ritmos de giro, por ejemplo, de una palanca. Por ello amerita información vectorial de posicionamiento. ( 1 N m = 1 kg m2 / s2.)
Aceleración. expresa la variación de velocidad por unidad de tiempo. (metros sobre segundo al cuadrado – m/ s2)
Expresión de un vector bidimensional en el plano
Cualquier vector r→ del espacio puede expresarse como una combinación lineal de los vectores i→ , j→ y k→ ), siendo cada termino representativo a los ejes coordenados. En el caso bidimensional se puede representar con k=0, o simplemente con los ejes coordenados (x,y)-(i,j)
Representación de un vector de posición, utilizando vectores unitarios y con números complejos
El vector posición o radio vector, del punto P es la distancia dirigida del origen al punto P, y está definido por:
rp = OP = xax + yay + zaz siendo ax = Ux
lo que representa al vector posición con el uso de vectores unitarios.
Para el caso de los números complejos, Cualquier vector r→ del espacio puede expresarse como una combinación lineal de los vectores ( i→ , j→ y k→ ),
Siendo:
Posición relativa de un vector
Es aquel que se utiliza un sistema de referencia fijo. Existen situaciones en las que se utiliza simultáneamente varios puntos de referencia, por lo que un mismo punto puede tener tantas posiciones como los puntos de referencia que se escojan.
Identidad de Euler
Un número complejo es un número de la forma donde a + bj, donde a y b son números reales, Si sustituimos x= iu(u es real) en la serie de Taylor para e^x. y aplicamos las relaciones:
i²=-1 ; i³=i²i=-i ; i4 =i²i²=1 ; i5 = i4i=i
y así sucesivamente para simplificar el resultado, obtenemos:
Esto no demuestra que ya que aún no hemos definido lo que significa elevar e a una potencia imaginaria. Más bien indica cómo definir para ser consistentes con otros hechos que conocemos. Entonces
Para cualquier número real u, eiu =cos(u)+isen(u)
Ecuación de Lazo Vectorial.
Con este método los eslabones se representan como vectores de posición en un sistema de coordenadas XY global, y se plantean de mediante número complejo. Las magnitudes de los vectores son las longitudes de los eslabones, la dirección se define en el origen del vector con ángulo positivo en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj y medido desde la dirección positiva del eje x. Para un mecanismo plano, se define el referencial en 𝑂2 y un punto de análisis que para esta ceso es B.
La posición de B queda definida por los vectores 𝑅⃗ 2 y 𝑅⃗ 3 o por los vectores 𝑅⃗ 1 y 𝑅⃗ 4. Es así que 𝑅⃗2 +𝑅⃗3 = 𝑅⃗1 + 𝑅⃗4, de forma que igualando a cero se obtiene la ecuación de lazo𝑅⃗2+𝑅⃗3−𝑅⃗1 − 𝑅⃗4 = 0.
Representación de lazo para un mecanismo de cuatro barras con énfasis en el punto B
En representación polar el lazo de la ecuación 1 se tiene𝑅2𝑒𝑗𝜃2 + 𝑅3𝑒𝑗𝜃3 − 𝑅1𝑒𝑗𝜃1 −𝑅4𝑒𝑗𝜃= 0. De este modelo matemático se desprenden las componentes en los reales y los imaginarios y se resuelve para definir las posiciones, representadas por los ángulos 𝜃3 y 𝜃4, como función de la posición del eslabón 2 (𝜃2), considerada la condición de entrada.
Ángulo de transmisión en un mecanismo de 4 barras (manivela-oscilador)
Se define como el ángulo entre el eslabón de salida y el acoplador. En general, se considera como el valor absoluto del ángulo agudo del par de ángulos formado en la intersección de dos eslabones y varía continuamente de un valor mínimo a un valor máximo conforme el eslabonamiento pasa por su intervalo en movimiento. Es una medida de la calidad de transmisión de fuerza y velocidad en la junta.
La fuerza F~ que actúa sobre el eslabón 4 en la revoluta B puede descomponerse en una componente radial F~r y una componente transversal F~t, paralela a la dirección Da. El valor óptimo del ángulo de transmisión es de 90°. Cuando µ es menor que 45°, la componente radial será mayor que la tangencial.
Ángulo de transmisión mínimo y máximo en un mecanismo de 4 barras (manivela-oscilador)
La mayoría de los diseñadores de máquinas tratan de mantener el ángulo de transmisión mínimo por encima de unos 40° para promover un movimiento suave y una buena transmisión de fuerza. Sin embargo, si en un diseño particular hay muy poca o ninguna fuerza externa o par de torsión aplicado al eslabón 4, se puede tener éxito con valores de µ incluso más bajos.
El ángulo de transmisión mínimo µmín en un mecanismo de Grashof de manivela-balancín es entonces el más pequeño de m1 y m2
El ángulo de transmisión proporciona un medio para juzgar la calidad de un eslabonamiento recién sintetizado. Si no es satisfactoria, se puede iterar a través del procedimiento de síntesis para mejorar el diseño.
Por lo tanto, los valores máximos y mínimos del ´ángulo de transmisión µ ocurrirán cuando θ2 ∈ {0◦, 180◦}.
Posiciones extremas de un mecanismo de 4 barras (manivela-balancín y manivela-corredera)
Existen dos categorías generales de restricción de movimiento, posición crítica extrema (CEP, por sus siglas en inglés), también llamada especificación de punto final, y movimiento de trayectoria crítica (CPM, por sus siglas en inglés). La posición crítica extrema se refiere al caso en que las especificaciones de diseño definen nen las posiciones inicial y final del seguidor (es decir, posiciones extremas), pero no especifican ninguna restricción en el movimiento entre las posiciones extremas.
Posiciones límites de un mecanismo biela manivela: Para la primera posición límite, configuración en la que se obtiene la posición extrema derecha del deslizador, se pueden establecer las siguientes ecuaciones:
Para la segunda posición límite, posición extrema izquierda del deslizador, por un punto C2, se pueden establecer las siguientes ecuaciones:
El desplazamiento del deslizador se obtiene de: Δs=s1-s2
La razón de tiempos se obtiene mediante la siguiente expresión:
En general, el mecanismo centrado de corredera y manivela debe tener a r3 más grande que r2. Sin embargo, el caso especial de r3 = r2 da por resultado un mecanismo isósceles de corredera y manivela en el que la corredera tiene un movimiento alternativo pasando por O2 y la carrera es 4 veces el radio de la manivela.
Razón de tiempo
Para todos aquellos trabajos de operaciones repetitivas existe por lo común una parte del ciclo en la que el mecanismo se somete a una carga, llamada carrera de avance o de trabajo, y una parte del ciclo conocida como carrera de retorno en la que el mecanismo no efectúa un trabajo, sino que se limita a devolverse para repetir la operación. Por ejemplo, en el mecanismo excéntrico de corredera-manivela,
Una medida de lo apropiado de un mecanismo desde este punto de vista, conocida con el nombre de razón del tiempo de avance al tiempo de retorno, se define mediante la fórmula:
Q = tiempo de carrera de avance/tiempo de carrera de retorno
Un mecanismo recuerde Q es grande coma resulta más conveniente para esta clase de operaciones repetitivas que aquellos que se caracterizan por valores pequeños de Q ciertamente, como cualquier operación de esta naturaleza, emplearía un mecanismo para el cual Q es mayor que la actividad Debido a esto, como a los mecanismos con valores de Q superiores a la unidad se conocen como de retorno rápido.
- Tiempo de carrera de avance=α/2π τ
- Tiempo de la carrera de retorno=β/2π τ
- Por último, combinando las ecuaciones (a), (b) y (e) se obtiene la sencilla expresión que sigue para la razón de tiempos: Q=α/β
Ángulo de desequilibrio en un mecanismo de 4 barras (manivela-balancín y manivela-corredera)
Se define como el ángulo entre la dirección de la fuerza (F) que un elemento o eslabón conductor realiza sobre otro y la dirección de la velocidad el punto de aplicación de dicha fuerza. Cuanto menor sea este ángulo la transmisión es más eficiente, ya que una mayor componente de la fuerza motriz actúa en la dirección del movimiento deseado (hay menor desviación de la fuerza respecto al movimiento deseado). Este ángulo es complementario del ángulo de transmisión. En mecanismos de leva y de engranaje este ángulo se llama también ángulo de presión.
Transformaciones lineales.
- Transformación de coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y)
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )
- Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas
| tan⁻¹| y / x| | |||
| ρ = √x²+y² | φ = | 180° – tan⁻¹| y / x| | z = z |
| 360° – tan⁻¹| y / x| |
- Transformación de coordenadas cilíndricas a esféricas
| tan⁻¹| ρ/ x| | Para z > 0 | |||
| r = √ρ²+z² | θ = | Π – tan⁻¹| ρ / z| | Para z < 0 | Φ = Φ |
| 0 | Para z = 0 |
BIBLIOGRAFÍA
Referencias Informativas
- Luna Reséndiz J. C. (Ciclo 2021/2). Analisis y síntesis de mecanismos, Recabado de: UNIDAD 1. Conceptos Básicos de Mecanismos // Clasificación de mecanismos // Tipos de mecanismos y su clasificación.
- Reinholtz, M. (2016). Mecanismos y dinámica de maquinaria (Segunda edición ed.). México: LIMUSA.
- Myska, D. H. (2021). Maquinas y Mecanismos (4ta edición ed.). México: Always Learning – Pearson Educación.
- Sandor, A. G. (1998). Diseño de mecanismos. Análisis y síntesis (Tercera edición ed.). México: Prentice Hall – Pearson.
Referencias Ilustrativas (Créditos y Licencias correspondientes)
- Grafica de Posición: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Posici%C3%B3n_3D.svg
- Desplazamiento Angular: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Desplazamiento_angular.svg
- Ejemplo de Desplazamiento Angular: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Desplazamiento_angular_2.svg
- Gráfico de Trayectoria ( Tiro parabólico): https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mov._parab%C3%B3lico.png
- Sistema de Coordenadas Cartesianas: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Coordenadas_cartesianas.png
- Sistema de Coordenadas Polares: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Examples_of_Polar_Coordinates.svg
- Aplicación de Coordenadas Polares: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Velocity_vector_plane_polar_coords.svg
- Sistema de Coordenadas Cilíndricas: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Coordenadas_cil%C3%ADndricas.png
- Aplicación de Coordenadas Cartesianas: http://Aplicación de Coordenadas Cartesianas:
- Sistema de Coordenadas Esféricas: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Coordenadas_esf%C3%A9ricas_figura.svg
- Aplicación de Coordenadas Esféricas: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sphere_vol.gif
- Identidad de Euler: https://publicdomainvectors.org/es/vectoriales-gratuitas/Identidad-de-EULERs/82113.html
- Razón de Identidad de Euler: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euler%27s_formula.png
- Fórmula Vector Posición (No. Complejos), Fórmula Identidad de Euler, Fórmulas de Posiciones extremas y Razón de Tiempos B.M. (BONZOPEDIA By JEVG / CC BY-NC-SA 4.0): https://bonzopedia.com/licencia-creative-commons
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